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By Max Deuring (auth.)

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Der A-Modul IDl = x l A xnA heißt Erweiterungsmodul des Ao-Moduls IDl, wenn eine Ao-Basis Xl"'" in von IDlo zugleich (linear unabhängige) A-Basis von IDl ist. Wenn Zl' ... , Zt linear unabhängige Elemente von IDlo sind, so sind sie au<;h in Beziehung auf A linear unabhängig, weil sie zu einer Basis von IDlo/ Ao ergänzt werden können. Ist ~ = zlA o ZtAO irgendein Teilmodul von IDlo, so ist hiernach :t = ZlA + ... + ZtA Erweiterungsmodul von :to. Wir behaupten nun, daß ~ aus :t rückwärts gewonnen werden kann durch Durchschnittsbildung: :to =:tn IDlo.

Die Vertauschungsregel a· IXX = IX· ax und, wenn ein gemeinsamer Operatorenbereich Q von ~ und K vorliegt, die Regel coa· x = co· ax gilt, eine direkte bzw. reziproke Darstellung a -+ A von ~ in K erzeugt, indem A durch a! A bzw. a! = A! definiert wird. Ein ~- Linksmodul rol, der zugleich ein Linearformenmodul in K ist und der die Regeln (3) bzw. (4) und (5) erfüllt, heißt ein direkter bzw. ein reziproker Darstellungsmodul von ~ in K. Es hat sich also ergeben, daß zu einer (reziproken) Darstellung von ~ in K ein (reziproker) Darstellungsmodul rol gehört, der die Darstellung liefert als die Matrizen A, welche die durch Multiplikation mit a gegebene lineare Transformation einer gewissen Basis!

A algebraisch abgeschlossen. Der Rang des Restklassenringes von 2:(A nach seinem Radikal ffi ist gleich der Anzahl dieser irreduziblen Darstellungen, d. h. der verschiedenen zu 2:( konjugierten Körper, denn eine Darstellung ersten Grades von 2:( in A ist eine isomorphe Abbildung von 2:( auf einen Teilkörper von A, bei der P elementweise fest bleibt. Diese Anzahl ist gleich dem Grad von 2:(jP oder kleiner, je nachdem 2:( separabel über P ist oder nicht. Ein Körper AjP heißt Abspaltungskörper von 2:(, wenn 2:(Ajffi mindestens einen einfachen Bestandteil vom Range 1 abspaltet, d.

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