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By Giuseppe Gaeta

Questo testo si indirizza prima di tutto agli studenti delle Lauree Specialistiche in Biologia delle Universit� , ma sar� di interesse anche in keeping with studenti di Scienze Naturali e Medicina. Gli argomenti trattati includono i piu' classici modelli matematici di fenomeni biologici (dinamica delle popolazioni, diffusione delle malattie infettive, semplici modelli di fisiologia), ma una parte rilevante del testo e' dedicata all'approccio matematico alla teoria dell'evoluzione natuturale. Gli unici prerequisiti richiesti al lettore sono quelli forniti dai corsi di base di Matematica della Laurea triennale in Biologia, Scienze Naturali o Medicina; gli altri strumenti matematici sono discussi nel testo o nei "complementi matematici" che ne formano parte integrante. Sebbene i modelli qui discussi siano essenzialmente in termini di (semplici) equazioni differenziali e dunque deterministici, tesi a descrivere l'evoluzione di quantita' medie, si e' a piu' riprese cercato di mostrare il ruolo delle fluttuazioni nei fenomeni biologici e come esso possa essere tenuto in conto in modo matematicamente semplice.

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Indichiamo rispettivamente con r(t), u(t) e j(t) la quantit` a di cibo presente in ognuno di questi al tempo t. Quando il cibo `e stato tutto ingerito, ma il processo digestivo non `e ancora iniziato (indichiamo il momento dell’inizio della digestione con t0 = 0), abbiamo r(0) = r0 , u(0) = j(0) = 0. Supponiamo che, una volta iniziato il processo digestivo, la velocit` a a cui il cibo `e estratto dal rumine sia proporzionale alla quantit` a di cibo presente nel rumine stesso, ossia dr/dt = −kr .

Per` o dobbiamo anche ricordare che in realt` a se un dato xn `e minore di un valore di soglia xm = kα0 /A [si veda la (5)] allora pn < 1, ossia la popolazione `e estinta. D’altra parte, se la dinamica percorre tutto l’intervallo [0, 1], essa giunger`a sicuramente a toccare l’intervallo [0, xm ]. Dunque un grande valore di A conduce anch’esso necessariamente all’estinzione della popolazione. 7. Le biforcazioni di xn+1 = Ax(1 − x) al variare di A. L’inserto `e un ingrandimento della regione nel rettangolo della figura principale.

2. La fleboclisi `e mantenuta per un tempo T = 5; in questo periodo x(t) `e descritta dalla (4). Successivamente, il livello decade esponenzialmente come descritto dalla (5). 3. Livello di glucosio. 1 e R = 1, con x0 = 2. Il grafico `e normalizzato in modo da avere l’equilibrio per x = 1. La fleboclisi `e mantenuta per un tempo T = 30. 3 Digestione nei ruminanti Abbiamo considerato fenomeni descritti da una singola equazione lineare; `e anche possibile avere sistemi descritti da pi` u equazioni differenziali lineari accoppiate.

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